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2012年9月6日 星期四

啟發每個人的數學小書:愛因斯坦愉悅推薦,經典長銷70年※

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獻給所有時代,擁有好奇心的人們!
所有愛看數學書、不看數學書的人,
都從這本書得到啟發,不只懂了數學,更懂了人生!
  我帶著愉悅的心情讀李伯的這本書,優美的例子和深具啟發的內容,相信這原創性十足的嘗試,必定贏得人們激賞。 ~ 愛因斯坦
  這本數學入門經典以詩一般的文字和充滿想像力的插畫,為數學思考的本質與哲學作了最迷人的闡釋。原是為了在二次世界大戰那個動盪的年代,讓人們重新認識數學和科學的美好,經過70年的傳頌,這本小書所要傳達的,在在證明都是生活哲思與做事態度上,最具價值的提醒!
本書特色
  1942年,長島大學數學系主任和藝術系主任夫婦,聯手創作了這本圖文數學小書。
  1944年,它被美國國防部送往戰場,陪伴士兵們度過艱苦的戰時歲月。
  經過70年歲月的淬練,它依然發光發熱,2011年還登上日本暢銷書排行榜。
作者簡介
莉莉安.李伯(Lillian R. Lieber,1886 ~ 1986)
  生於俄羅斯的猶太人家庭,後來隨家人移民美國。先後取得巴納德學院學士、哥倫比亞大學碩士學位,1914年榮獲克拉克大學博士學位。
  1934年任教於紐約長島大學數學系時,與當時的系主任休.李伯結為連理。1945年,休.李伯轉任該校藝術系主任,她則繼任數學系主任,直到1954年退休。
  基於普及數學的崇高理想,莉莉安希望利用科普書寫,讓年輕人理解數學與科學在政治與倫理等方面的蘊涵,在一九四○年代寫了一系列相當受歡迎,也備受尊崇的科普書,包括《愛因斯坦的相對論》《無限》《Mits,機智與邏輯》等等。
繪者簡介
休.李伯(Hugh Gray Lieber,1896 ~ 1961)
  曾任紐約長島大學數學系、藝術系主任。妻子莉莉安的多本科普書籍都是由他擔任插畫。
目錄

推薦序 讓人不禁愛上的數學小書 ──貝利.馬祖爾
推薦序 數學是一種思維方式,更是一種生活方式 ──洪萬生
前言
關於主角T. C. MITS PART I 老玩意
1 五千萬人也可能是錯的
2 別撞到天花板了
3 面紙的思考
4 一般化
5 我們的圖騰柱
6 我們的圖騰柱(續)
7 抽象
8 定義你的名詞
9 締結良緣
10 早生貴子
11 PART I的總結 PART II 新鮮事
12 新式教育
13 常識
14 自由與特許
15 傲慢與偏見
16 2×2不等於4
17 抽象性──現代風格
18 第四維空間
19 準備好了
20 這些現代玩意兒 寓意
推薦序
讓人不禁愛上的數學小書
哈佛大學校聘教授 貝利.馬祖爾*

  進入這本書的世界,宛如發現一個充滿希望的地方,裡面的想法—純粹的想法—在雨水的沖刷下閃閃發亮,就像向日葵一樣,等不及向你展現初綻的花瓣,洋溢著各種可能性、喜悅和益處。
  作者極具天分,寫出了一本給所有人看的數學書,擷取出最值得探討的概念,讓書中涵蓋了使數學真正成為數學的本質。他們寫得如此吸引人,讓我們不管在電車上或散兵坑裡都想閱讀;他們也寫得如此簡約,本書最早的美國大兵版,甚至可以塞進一包軍隊口糧裡面。
  能邂逅李伯一家(本書作者與插畫者是一對夫婦),令我非常興奮,因為他們筆下的數學是如此精采。他們提出令人驚豔的簡單問題,像是為赤道繫上皮帶,再稍微鬆開(第三章),藉此神奇地讓你、我和Mits先生在不知不覺中,開始以數量化的方式思考,並且是深入思考。
  李伯一家邀請我們參加代數和幾何的婚宴(第九章)。他們面無表情地述說一個迷人、但卻無法成立的歐氏幾何證明,其說服力全仰賴他們所畫的圖中一個狡猾而錯誤的假設(第十三章)。一旦他們協助揭發那個使人誤解的圖解,其中的寓意也會隨之出現,正如你所想像。
  他們也提供讀者一丁點微積分的概念(第十章),就我看來,要感受微積分的奧妙,你只需要知道這些就夠了。他們還帶我們體驗有限幾何(第十五章,標題為「傲慢與偏見」),而幾何公理的模型概念就輕巧地從中流洩而出,因此對於更加抽象的概念,他們幾乎無須多作說明,你就是看得懂!
  他們也在有限算術上運用同樣的手法(第十六章)。他們說明,而且是真正地說明了四維空間(第十八章)。他們也解釋相對論。這些說明都有其附加的寓意,或是對希特勒的批判,並且洋溢著和煦的長者之風。
  這本寫於1942年的書籍,反映了那個年代的嚴酷和險惡,也因堅信「理念可以造就輝煌的未來」而生輝。本書的美國大兵版,標題為「給海外軍隊的版本」,大小只有3又3/4吋×5又3/8吋。戰時書籍評議會非常幸運,得以讓部隊閱讀如此具有教育價值的書,裡面充滿了T. C. Mits的明亮插畫,他常常帶著一頂雙曲面的帽子,蔑視(或許根本不以為意)當代毀滅性戰爭的貪婪,快活地思考他在浩瀚的數學頂層的位置。
  正如你即將見到的,你手中的這本書相當有趣,但有時候也會惹人惱怒。我自己讀的時候,本書對我的第一個影響,就是把我帶回十二歲,作者就像是我慈愛的阿姨和伯伯,把我放在腳搆不到地面的椅子上,塞給我一大杯巧克力牛奶和自家烤的餅乾,準備傾注予我豐富的課程(關於生命、數學、這個世界……等等),每個故事都伴隨著別有用心的寓意。
  然而,這本小書所帶來的興奮感,正好和它的大小成反比。這本書的重量,比如說,相較於當代微積分教科書,真是有相當大的對比(我有時候很好奇,搬著這些教科書到處跑的學生為什麼沒拿到額外的體育課學分)。
  不知道是因為懶惰,或者只是個性叛逆,當我還是青少年的時候,很喜歡那種精簡的小書,旨在寫出所探討的主題之本質,不帶任何噱頭。在這方面,我和傳說中去找希列拉比,要這位有名望的智者在自己單腳站立的時間內,教完整部《律法書》的懷疑家是同一陣線的。而這位親切的拉比,則告訴他一個絕對命令**。因此,我會愛上李伯一家的書也是理所當然,因為書中所闡述的—而且文筆是那麼地熟練、輕巧(不管有沒有巧克力牛奶和餅乾)—正是數學感性的真正本質。你真正需要知道的,全在這裡了。
  * 「哈佛大學校聘教授」是哈佛頒給教學人員的最高級位,幾可與諾貝爾獎、普立茲獎、國家元首等榮譽相提並論,至今僅有24位教授獲此殊榮,經營策略大師麥可.波特亦是其中之一。貝利.馬祖爾於1998年受封,在數學界具有相當大的影響力,也致力於科普寫作。
  ** 希列拉比的回答是:「己所不欲,勿施於人。」這句話即代表了猶太教《律法書》的要義。
推薦序
數學是一種思維方式,更是一種生活方式
台灣師範大學數學系前教授 洪萬生

  當你翻開到目錄時,請先猜猜看,第九章和第十章標題為什麼分別稱為「締結良緣」與「早生貴子」?哈佛大學傑出數學家貝利.馬祖爾說這是「李伯一家邀請我們參加代數和幾何的婚宴」。事實上,這對在十七世紀組成的數學新家庭,就叫作「解析幾何」,至於他們早生的貴子,當然就是第十章的主題「微積分」了。
  上述這個充滿數學史洞識的比喻,可以見證本書作者李伯一家人的博雅素養,以及非常樂觀的自由主義思想,儘管當時二戰正酣,時局嚴酷、險惡。馬祖爾指出:
  進入這本書的世界,宛如發現一個充滿希望的地方,裡面的想法—純粹的想法—在雨水的沖刷下閃閃發亮,就像向日葵一樣,等不及向你展現初綻的花瓣,洋溢著各種可能性、喜悅和益處。
  當然,這是因為「作者極具天分,寫出了一本給所有人看的數學書。」事實上,本書是數學家莉莉安.李伯教授於1942年,為二戰出征的美國大兵所寫的一本數學休閒小書。全書才大約三萬字,為了方便閱讀,還採用一行一詞句的方式書寫,再加上作者先生休.李伯的俏皮貼切插畫,使得本書洋溢著極大的啟發性。無怪乎馬祖爾教授還特別強調:
  這本小書所帶來的興奮感,正好和它的大小成反比。這本書的重量,比如說,相較於當代微積分教科書,真是有相當大的對比(我有時候很好奇,搬著這些教科書到處跑的學生為什麼沒拿到額外的體育課學分)。
  不知道是因為懶惰,或者只是個性叛逆,當我還是青少年的時候,很喜歡那種精簡的小書,旨在寫出所探討的主題之本質,不帶任何噱頭。
  可見,本書之所以受到馬祖爾的青睞,完全是因為這位傑出數學家的十二歲年代,受到它直指核心且「帶點叛逆性」的風格所吸引。而這種「現代性」,當然也見證了美國數學家養成教育制度的逐漸成熟,以及二十世紀早期許多美國本土培養的數學博士,如何以數學教育與普及為職志。
  根據約瑟夫.雅伯的說明,莉莉安是生於俄羅斯的猶太人家庭,後來隨家人移民美國。她先後取得紐約的巴納德學院學士、哥倫比亞大學碩士,1914年榮獲克拉克大學博士學位。1934年,當她應聘到紐約長島大學數學系任教時,與當時的系主任休.李伯結為連理。1945年,當修.李伯轉任該校藝術系主任時,莉莉安繼任數學系主任,直到1954年退休為止。
  顯然基於普及數學的崇高理想(她的科普系列書籍至少有十本之多),莉莉安希望利用科普寫作,讓年輕人理解數學與科學,在政治、倫理等方面的蘊涵。另一方面,她也注意到一般學生直到大學階段,才有機會接觸源自十九世紀的現代數學。因此,為了讓學生體會數學知識活動是多麼地令人興奮,她認為有必要引進伽羅瓦群、非歐幾何、四維空間,乃至於現代邏輯等等革命性的風貌。而所有這些,都在本書中有了相當具體的實現。
  本書除了〈前言〉〈關於主角T. C. MITS〉,以及書末的〈寓意〉之外,共有二十章,所介紹的數學主題涵蓋歐氏幾何、非歐幾何、有限幾何、有限代數、解析幾何、微積分、第四維空間和相對論等等,並且論及方法論之省思,以及現代數學vs.現代藝術的抽象性之對比。
  各章篇幅精簡、內容強悍,但呈現手法卻十分輕鬆俏皮,尤其各章標題更是時有佳作。除了前述的第九章〈締結良緣〉、第十章〈早生貴子〉之外,還有分別介紹非歐幾何的第十四章〈自由與特許〉,以及有限幾何的第十五章〈傲慢與偏見〉。所有的這些,都是由於莉莉安認為,所謂的SAM(Science, Art & Mathematics)表現了人類文化的真、善、美,從而對年輕讀者娓娓道來現代數學的理論、啟示和它引人入勝之處,這是現代教育,以及數學普及著述必須承擔的時代使命。
  儘管如此,李伯夫婦非常「到位」的科普素養,足以在本書一開始,就讓年輕讀者愛不釋手。譬如說吧,在第一章中,作者就提醒我們「五千萬人也可能是錯的」,他們經由一個簡單的計算題,告訴我們「別成為倉促作決定的人」。
  其次,在第二章中,作者提出加倍疊紙巾(每張厚度0.003吋)的問題,然後要讀者猜,當疊到第32次時,這疊紙巾總共會有多高?作者利用這個例子說明,很多時候我們依賴直覺解決問題固然無可厚非,然而,直覺的東西在被檢查和複檢之前,「並不會成為值得尊敬的科學和數學」,儘管她十分仰慕法拉第緣起於直覺的許多貢獻。
  至於在第三章中,作者則拋出另一個問題:假設有一條鋼環緊緊環繞著地球的赤道。現在你將它移走,從一處切開來,額外接合一段10呎長的鋼條。這條新的鋼環和地球之間的空隙會有多大?針對它令人出乎意料的解答,作者提醒我們:「沒有理論或計畫,光是機械式的操作問題裡的數字,並不因為你使用算術而變得有意義!」
  以上所提及的問題都常見於數學普及書籍,作者在此「老生常談」,其目的就是希望我們都能運用數學來提升心靈效率。為此,當我們學習數學時,就必須強調一般化、抽象化,以及精確定義的重要性,進而位於作者所謂「圖騰柱」頂層的純數學思維,當然就至為重要了。
  作者以收音機為例,說明這個發明如何先後受惠於義大利馬可尼的無線電設備、德國赫茲的電磁波實驗、英國馬克斯威爾的電磁學理論,乃至於最後,牛頓微積分是如何被應用在電磁的微分方程式上。因此,要是沒有純粹的數學理論,哪來科技上的重要發明?
  當然,從本書的說明,我們也可以看到,數學不只是給工程師,或是需要數學公式的人使用而已,「數學是一種思維方式、一種生活方式」,這才是作者所念茲在茲的理念。因此,在第十一章「PART I的總結」最後,作者特別指出:
  大部分的數學課程都沒有留時間讓你思考上面那些事情。時間都用來學習演算技術。我們必須停下來,從技術的操弄中,看出可以從中得到什麼一般性觀念,而這些觀念是對我們所有人都管用的。
  作者這種針對比較結構主義式進路的「新式教育」之呼籲,在本書後半部提供了一個教育現代數學的藍圖。至於其具體內容,則是基於隨意定奪的假設、但卻邏輯相容的公設數學,如非歐幾何、有限幾何、有限代數、第四維空間等等。如此一來,受過這種現代數學訓練的公民,「他對於自由止於何處,以及特許始於何處,有著非常清楚的體認。他完全了解,他不能在一個系統中引進任何會引發矛盾、進而摧毀這個系統本身的事物。」因此,基於這樣的自由主義之倫理蘊涵,「即使在一個民主制度中,允許民主的敵人使用言論自由去摧毀民主,是不合乎邏輯的。同理,自由企業也必須因著民主的其他設準而有所規範。」
  上述作者所關心的這種自由vs.特許的張力,在現代藝術與音樂等等的創作上,倒是沒有什麼禁忌,因為它的奇特性正是現代主義的一大特徵,「就好比今日的數學比過去的要多元化,那麼,你也不會訝異,現代藝術比起過去的時尚藝術要多樣化得多。」。
  無論作者基於現代數學精神的自由主義倫理主張是否具有說服力,本書的精緻內容與圖文並茂的表現形式,都值得我們細細品味。總之,這一本年齡即將邁入七十歲的阿嬤級讀物,既是數學普及書寫的一絕,也是數學知識永恆性的一個見證。因此,我們非常樂意中譯並推介給中文讀者,特別是中學師生閱讀。
內文1前言

一開始
本書並沒有打算以自由詩的型式呈現。
將每個詞句分行書寫,
為的是方便迅速閱讀,
如今,
每個人都行色匆匆。


關於主角T. C. MITS

先介紹我們的主角。
T. C.出生,並且接受了某種教育──
也許是大學,也許是「社會大學」。
不論如何,他試著理解要如何好好「過日子」。
他學到許多相互矛盾的資訊:
「過去是過時的,你必須革新。」
「過去是美好的,這些最新的流行是墮落的象徵。」

「科學會拯救我們免於迷信和欺騙。」
「科學是人類所創造出最恐怖的威脅。」

「五千萬人不可能是錯的。」
「有些種族一定是錯的。」

「作人要實際,習得一技之長,
別把時間浪費在數學和藝術上。」
「為什麼要終其一生當一個狹隘的、實際的農人呢?
走出去,學習一點理論,並且發現如何用更好的方法做事情。」
等等,等等。
他很自然地被這些資訊所困惑,
並且被禁閉在其中。
不只是名字成了Mits*,
手指上、腳趾上,甚至在腦袋上,
也都被牢牢套住了。
本書企圖以鳥瞰的角度,
來查看T. C.的困境,
並且尋找是否有可能的出路。
為了要生動地進行,我們會盡量多使用圖形。
而且為了要清楚地進行,我們使用的是人類所創出最清楚的語言──
數學。

噢,我知道你不喜歡數學,
但是,我們答應不會將它當成拷問的工具,
而是顯示它對於前面所提到的矛盾格言,
以及諸如下列之間,可能會有什麼關係:
民主
自由和特許
傲慢與偏見
成功
孤立主義
準備
傳統
進步
理想主義
常識
人性
戰爭
自力更生
謙卑
容忍
偏狹
無政府狀態
忠誠
抽象藝術
等等。
有時候我們會指出一個「寓意」。
但是請別認為我們想教訓什麼,或是在對讀者說教。
事實上,我們只是在自言自語,
因為我們就和其他數百萬人一樣,都是T. C.本人。

* Mits原意是手套。


PART I 老玩意
1 五千萬人也可能是錯的

一開始
先來一個非常簡單的問題。
假設你可以選擇下面兩個工作之一:
工作1:起薪為年薪$1000,然後每年加薪$200。
工作2:起薪為半年薪$500,然後每六個月加薪$50。
除此之外,這兩個工作在其他方面皆相同。
那麼,哪個工作比較好呢(在第一年之後)?
翻過這一頁之前,請仔細思考,
並且確定你的答案。
你是說第一個工作比較好嗎?
你是按照下列方式推論的嗎?
因為第二個工作每六個月加薪$50,
那麼它每年只會增加$100,
也因此它當然比不上每年加薪$200的第一個工作。
不過,你錯了!
仔細檢查看看下面列出來的薪資:
前半年 後半年 整年總計
第1年 工作1
工作2 $500
$500 $500
$550 $1000
$1050
第2年 工作1
工作2 $600
$600 $600
$650 $1200
$1250
第3年 工作1
工作2 $700
$700 $700
$750 $1400
$1450
第4年 工作1
工作2 $800
$800 $800
$850 $1600
$1650
請注意:
(1)工作1每年會比前一年多付$200。
(2)工作2每半年會比前半年多付$50。
這些都符合一開始的條件,
然而,工作2每年卻比工作1多賺$50。
而且你也可以很簡單地看出來,
不管工作幾年,結果都是一樣的。
你很驚訝吧。
但是別氣餒,因為和你作出同樣選擇的人非常多。
問問你的朋友,你也會發現,
除非他們之前聽過這個問題,
否則他們也會作出和你一樣的錯誤,
五千萬人的確有可能是錯的!
而這再正常不過。
但是,請不要私下認為民主毫無用處!
因為五千萬人也不必然全是錯的!
如同你在上面這個問題中所見,
他們可能是太匆忙,
倉促地下決定
才會犯錯。
因此,別再犯下同樣的錯誤,
面對民主,我們不能倉促地下決定。
我們待會再回到民主上面來。
在這同時,請記得,你可以
「有時候欺騙所有人,
卻無法一直欺騙所有人。」
而且,因為你也是人們當中的一個,
可能的話,也不想被欺騙,
你得準備有條理的思考。
順便提一下,
別認為你什麼事情都不做就辦得到。
也許本書能幫助你,順利地走過這條路。

寓意:
別成為倉促作決定的人。


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